Algorithm for placement of reference points and choice of an appropriate variable shape parameter for the RBF approximation

Abstract

Many Radial Basis Functions (RBFs) contain a shape parameter which has an important role to ensure good quality of the RBF approximation. Determination of the optimal shape parameter is a difficult problem. In the majority of papers dealing with the RBF approximation, the shape parameter is set up experimentally or using some ad-hoc method. Moreover, the constant shape parameter is almost always used for the RBF approximation, but the variable shape parameter produces more accurate results. Several variable shape parameter methods, which are based on random strategy or on an evolutionary algorithm, have been developed. Another aspect which has an influence on the quality of the RBF approximation is the placement of reference points. A novel algorithm for finding an appropriate set of reference points and a variable shape parameter selection for the RBF approximation of functions y=f(x) (i.e. the case when a one-dimensional dataset is given and each point from this dataset is associated with a scalar value) is presented. Our approach has two steps and is based on exploiting features of the given dataset, such as extreme points or inflection points, and on comparison of the first curvature of a curve. The proposed algorithm can be used for the approximation of data describing a curve parameterized by one variable in multidimensional space, e.g. a robot path planning, etc.

Mnoho radiálních bázových funkcí (RBF) obsahuje shape parametr, který má důležitou roli pro zajištění dobré kvality RBF aproximace. Určení optimálního shape parametru je obtížný problém. Ve většině článků zabývajících se RBF aproximací je shape parametr nastaven experimentálně nebo pomocí nějaké ad-hoc metody. Navíc je téměř vždy používán konstantní shape parametr pro RBF aproximaci, ale variabilní shape parametr poskytuje přesnější výsledky. Bylo vyvinuto několik metod s variabilním shape parametrem, které jsou založeny na náhodné strategii nebo na evolučním algoritmu. Dalším aspektem, který má vliv na kvalitu RBF aproximace, je umístění referenčních bodů. Nový algoritmus pro nalezení vhodné množiny referenčních bodů a výběr variabilního shape parametru pro RBF aproximaci funkcí y = f (x) (tj. případ, kdy je dán jednodimenzionální dataset a každý bod z tohoto datasetu je sdružen se skalární hodnotou) je prezentován. Náš přístup má dva kroky a je založen na využití vlastností daného datasetu, jako jsou extrémní body nebo inflexní body, a na porovnání první křivosti křivky. Navrhovaný algoritmus může být použit pro aproximaci dat popisujících křivku parametrizovanou jednou proměnnou ve vícerozměrném prostoru, např. plánování cesty robota atd.